融合代數(shù)、幾何與拓?fù)浞椒ǖ牧孔蛹m錯(cuò)理論研究獲進(jìn)展
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量子糾錯(cuò)是在有噪聲硬件上實(shí)現(xiàn)可靠量子計(jì)算機(jī)的基石。基于拓?fù)浯a的傳統(tǒng)方法已取得了實(shí)驗(yàn)進(jìn)展,但由于編碼率低,通常需要數(shù)百萬(wàn)個(gè)物理量子比特才能夠支撐實(shí)際應(yīng)用。為突破這一瓶頸,學(xué)界轉(zhuǎn)向?qū)α孔拥兔芏绕媾夹r?yàn)碼的研究,這類編碼在理論上可降低量子糾錯(cuò)所需的資源開(kāi)銷。其中,雙變量雙循環(huán)量子糾錯(cuò)碼尤為引人關(guān)注。它在近期可實(shí)現(xiàn)的量子硬件條件下,有望將資源需求減少一個(gè)數(shù)量級(jí)。
近日,中國(guó)科學(xué)院理論物理研究所研究團(tuán)隊(duì)與中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)、北京大學(xué)的科研人員,在此類量子糾錯(cuò)碼的理論研究方面取得進(jìn)展。該研究融合代數(shù)、幾何與拓?fù)浞椒ǎ⒘搜芯緽B碼的拓?fù)淅碚摽蚣堋?/p>
研究團(tuán)隊(duì)注意到BB碼與分形子物理在研究方法上的共通性,借鑒分形子領(lǐng)域發(fā)展出的代數(shù)工具,并結(jié)合Gr?bner基等方法,實(shí)現(xiàn)了對(duì)任意給定BB碼拓?fù)湫再|(zhì)的高效表征。研究發(fā)現(xiàn),這類量子糾錯(cuò)碼普遍具有以任意子為特征激發(fā)的拓?fù)湫?,但其任意子激發(fā)在短程移動(dòng)中呈現(xiàn)出類似分形子的特征,即移動(dòng)過(guò)程必然伴隨能量的改變。
進(jìn)一步,該研究揭示了一種在BB碼中普遍存在的“拓?fù)渥璐臁爆F(xiàn)象。不同于傳統(tǒng)拓?fù)浯a,BB碼在環(huán)面上的基態(tài)簡(jiǎn)并度一般小于任意子總數(shù)。研究認(rèn)為,該現(xiàn)象與任意子的準(zhǔn)分形移動(dòng)行為相關(guān),二者共同反映平移對(duì)稱性富化拓?fù)湫蜻@一深層次的拓?fù)湮飸B(tài)結(jié)構(gòu)。同時(shí),研究利用Koszul復(fù)形的對(duì)稱性質(zhì),闡明了阻挫情形下邏輯算符與任意子激發(fā)之間的精確對(duì)應(yīng)關(guān)系。
在方法論層面,該研究利用Gr?bner基等代數(shù)方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)BB碼的逐個(gè)高效表征,并引入基于Bernstein-Khovanskii-Kushnirenko定理的代數(shù)幾何方法,揭示了在近環(huán)面碼布局下BB碼拓?fù)湫虻囊话阕兓?guī)律。通過(guò)Bernstein-Khovanskii-Kushnirenko定理,任意子的種類可通過(guò)計(jì)算由相互作用形式?jīng)Q定的牛頓多面體的混合體積獲得。
上述研究揭示了量子糾錯(cuò)、任意子激發(fā)、對(duì)稱性與拓?fù)湮飸B(tài)之間的內(nèi)在聯(lián)系,為發(fā)展新型高性能量子糾錯(cuò)碼提供了理論支撐。利用這些數(shù)學(xué)物理原理,科研人員在同期發(fā)表于《物理評(píng)論X輯-量子》(PRX Quantum)的相關(guān)工作中,將BB碼推廣到扭轉(zhuǎn)邊界條件情形,實(shí)現(xiàn)了糾錯(cuò)效率的提升。
相關(guān)研究成果發(fā)表在《物理評(píng)論快報(bào)》(Physical Review Letters)上。研究工作得到國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)和中國(guó)科學(xué)院等的支持。

環(huán)面上任意子的類分形子移動(dòng)行為,以及通過(guò)牛頓多面體(紅色與綠色三角形)的混合體積(紫色平行四邊形)計(jì)算任意子種數(shù)的代數(shù)幾何方法,其中牛頓多面體由相互作用量子比特的相對(duì)位置確定。
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